路过一些有趣的问题，便索性采摘下来。

问题1. 证明：任意连续映射 $f:\mathbb{RP}^{2n}\to\mathbb{RP}^{2n}$，均有不动点。

Proof：我们先证明：对任意$f:S^{2n}\to S^{2n}$，一定存在 $x\in S^{2n}$，使得$f(x)=x$或$f(x)=-x$至少有一者成立。事实上，我们有

• 若对任意$x\in S^{2n}$，$f(x)\ne x$，从而我们考虑同伦映射$H_1:S^{2n}\times I\to S^{2n}$​， \(\begin{equation} H_1(x,t)=\dfrac{(1-t)f(x)-tx}{|(1-t)f(x)-tx|}, \end{equation}\) 首先这个映射良定，因为若分母为 $0$，则有$(1-t)f(x)=tx$，同时取模长可知$t=\dfrac{1}{2}$，也即 $f(x)=x$，矛盾！因此$H_1$给出了$f$与对径映射$-\mathrm{id}$的同伦，故可知$\deg f=-1$。

• 若对任意$x\in S^{2n}$，$f(x)\ne -x$，从而我们考虑同伦映射$H_2:S^{2n}\times I\to S^{2n}$​， \(H_2(x,t)=\dfrac{(1-t)f(x)+tx}{|(1-t)f(x)+tx|},\) 从而同理我们可知这给出了$f$与$\mathrm{id}$的同伦映射，故可知 $\deg f=1$。

综上可知矛盾！断言成立。现在我们回到原题，对于$f:\mathbb{RP}^{2n}\to\mathbb{RP}^{2n}$，可以自然看成 $S^{2n}$上的自映射，由上述断言不难立刻得到$f$有不动点。$\Box$

$\clubsuit$ $\textbf{注：}$这个命题对 $\mathbb{RP}^{2n-1}$并不成立，因为可以考虑 $\mathbb{R}^{2n}$​上的线性映射 \(\mathrm{diag}\left\{\begin{pmatrix} 0& 1\\ -1 &0 \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0& 1\\ -1 &0 \end{pmatrix}\right\}\) 所诱导的映射，由于没有实特征向量，从而诱导的映射没有不动点。